Как прекрасна может быть... Геометрия? Или даже геометрия хаоса? Как красива может быть сама наука.
Могу поспорить, что каждый из вас хотя бы раз видел вот примерно такие картинки:
(
Wolfgang Beyer. Автор и другие его работы)
И все мы знаем, что это так называемый "фракталы". Но что это и откуда на самом деле?
Бенуа Мандельброт - французский и американский математик, создатель
фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).
Математик
ГЕОМЕТРИЯ И ХАОС
Этот ученый, совершивший переворот в геометрии, относится к немногочисленной группе гениев, которые проявляют выдающиеся способности только в одной, очень узкой области. У некоторых это способность производить в уме умопомрачительные вычисления, достойные суперкомпьютера, у других — невероятные способности к иностранным языкам, у третьих — феноменальная память на даты, удерживающая весь ход всемирной истории. У Бенуа Мандельброта своя «узкая специализация» — он умеет видеть пространства иных, более чем трехмерных, измерений.
читать дальшеБенуа родился в 1924 году в Варшаве. Он происходит из семьи литовских евреев. В 1936 году Мандельброты эмигрировали во Францию и поселились в Париже, куда раньше уехал дядя — Франсуа Мандельброт. Он был членом элитной группы французских математиков в Париже, известной под собирательным псевдонимом «Никола Бурбаки».
Когда началась война, семья Мандельбротов переехала в маленький городок Тюль на юге Франции. Бенуа пошел было в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. В результате к шестнадцати годам он толком не знал даже алфавита, а таблицу умножения усвоил только до пяти. Ему и сейчас, спустя много лет, бывает трудно пользоваться телефонным справочником.
Но у молодого Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны.
Его талант радикально отличался от обычных математических способностей прежде всего потрясающим пространственным мышлением. Все задачи он решал не по привычным алгоритмам математического анализа, а с помощью острейшей геометрической интуиции. На вступительном экзамене он сначала не мог решить алгебраические задания, но внезапно в его сознании установилась связь алгебры с представляемыми в воображении геометрическими образами. Преподаватели были поражены оригинальностью и красотой его решения и поставили абитуриенту отличную оценку.
Окончив университет, Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Вскоре он получил докторскую степень и постарался уйти как можно дальше от официальной академической науки — по своему, одному ему видимому пути.
В 1958 году он приступает к работе в научно-исследовательском центре IBM в Иорктауне. Место службы он выбрал по зову сердца: IBM занималась теми областями математики, которые были Мандельброту интересны. Но ученый так увлекся, что ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он стал мэтром «нетрадиционной математики». Коллег поражали его разработки в областях лингвистики, теории игр, аэронавтики, экономики, физиологии, географии, астрономии и физики. Он стал первым математиком, который (не без помощи IBM) получил доступ к высоким компьютерным технологиям. И это помогало Мандельброту математически осваивать пространства все новых и новых областей знания.
Ученый признавался: «Иногда меня охватывает внезапный порыв, и я бросаю исследования на середине, чтобы снова погрузиться в новую область, которая внезапно стала для меня интересной, и в которой я не знаю ничего. Я следовал моим инстинктам…»
Инстинктивный способ поиска знаний водил исследователя из стороны в сторону. В столетие, когда синонимом научных исследований фактически стала узкая специализация, «широкозахватный» Мандельброт был непопулярен в кругах коллег. Но его нестандартный ум находил для себя работу в самых разнообразных областях. Исследуя экономику, Мандельброт, например, обнаруживает, что произвольные на первый взгляд колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми, обычно изображаемыми статистиками.
На весь мир прославился «обсчет» Мандельбротом цен на хлопок. По этим ценам имелись надежные данные более чем за сто лет. Колебания их в течение дня казались непредсказуемыми, но компьютерный анализ смог проследить тенденцию ценового изменения. И провел этот анализ именно доктор Мандельброт. Математик вывел график, на котором колебания цен за один конкретный день были наложены на более длительный отрезок времени. Мандельброт проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось Полной неожиданностью для экономистов, пользовавшихся математикой только для вычислений. Да и сам Мандельброт удивился собственным же открытиям. Он не вполне понимал их тайный смысл, но чувствовал, что нащупал нечто очень важное. Позже выяснилось, что он интуитивно начал разрабатывать рекурсивный (фрактальный) метод в экономике.
Итак, фракталы… Перефразируя поэта, можно сказать: «Мы говорим Мандельброт, а подразумеваем фракталы». Обратное утверждение тоже верно. Понятие «фрактал» придумал, разумеется, сам Бенуа Мандельброт. Слово происходит от латинского «fractus», означающего «сломанный, разбитый».
Для математических объектов, к которым оно относится, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность — два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же — это не линии и не поверхности, а, если можно это себе представить, нечто среднее. Квадрат со стороной L (фигура на двухмерной плоскости) имеет площадь L, объем трехмерного куба с ребром L также равен L, и, в общем случае, объем
n-мерного гиперкуба тоже равен L. Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размеров возрастает и объем фрактала, но его размерность (показатель степени) — величина не целая, а дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур.
До появления фрактальной геометрии наука имела дело с системами, заключенными в трех пространственных измерениях. Благодаря Эйнштейну стало понятно, что трехмерное пространство — только модель действительности, а не сама действительность. Фактически наш мир расположен в четырехмерном пространственно-временном континууме.
Благодаря Мандельброту стало понятно, как выглядит четырехмерное пространство, образно выражаясь, фрактальное лицо Хаоса. Бенуа Мандельброт обнаружил, что четвертое измерение включает в себя не только первые три измерения, но и (это очень важно!) интервалы между ними.
Рекурсивная (или фрактальная) геометрия идет на смену Эвклидовой. Новая наука способна описать истинную природу тел и явлений. Эвклидова геометрия имела дело только с искусственными, воображаемыми объектами, принадлежащими трем измерениям. В реальность их способно превратить только четвертое измерение.
Жидкость, газ, твердое тело — три привычных физических состояния вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность клуба дыма, облака, точнее, их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Дробная величина! Аналогичным образом можно посчитать и размерность Других реальных природных объектов — например, береговой линии, размываемой прибоем, или кроны дерева, шелестящей под ветром. Кровеносная система человека — пульсирующая, живая — имеет размерность 2,7.
Обобщая, можно сказать, что все объекты с нечеткой, хаотичной, неупорядоченной структурой (а таких в природе подавляющее большинство) оказались состоящими из фракталов. Связь между хаосом и фракталами далеко не случайна — она выражает их глубинную сущность.
Фрактальную геометрию Мандельброта можно назвать геометрией хаоса. Для изучения реальных процессов применяется именно теория, хаоса. И хаос, как оказывается прекрасен…ИсточникУмер 14 октября 2010 года в Кембридже (Массачусетс, США), в возрасте 85 лет
А вот попытка фотографа и режиссера Тома Лоу создать “Коробку Мандельброта” (”Mandelbox”) в видео:
